Задача 1.
Даны 100 различных вещественных чисел. Докажите, что их можно так расставить в строчку, чтобы ни у каких двух чисел, стоящих рядом, разность не была равна 1.
Задача 2.
Один из углов треугольника равен 60°, а сторона, лежащая напротив этого угла, равна трети периметра треугольника. Докажите, что этот треугольник равносторонний.
Задача 3.
На доске написано несколько (не менее трёх) простых чисел. Известно, что если сложить любые два из них и из результата вычесть 7, получится одно из написанных чисел. Какие числа могут быть на доске?
Задача 4.
В зале заседаний собрались 2021 человек. Они проводят несколько туров голосования. В каждом туре каждый из присутствующих голосует ровно за одного из присутствующих (можно голосовать за себя), и те, за кого проголосовал ровно один человек, покидают зал. Может ли случиться, что после нескольких туров голосования в зале останется ровно один человек?
Задача 5.
В двух коробках суммарно лежат 65 шариков: красные, зелёные, жёлтые и синие. Шарики могут отличаться не только по цвету, но и по размеру. Известно, что, если извлечь пять шариков из любой коробки, среди них окажутся два шарика одинакового размера. Докажите, что можно найти три шарика одного цвета и одного размера, лежащих в одной коробке.
Задача 6.
Автомат «АГ-08» состоит из трёх блоков, по очереди обрабатывающих шарик с трёхзначным номером. Первый блок заменяет вторую цифру номера на третью; второй меняет местами первую и третью цифры номера попавшего в него шарика; а третий принимает шарик, сравнивает вторую цифру его номера с третьей и выдает шарик, на котором написана большая из этих цифр (если они равны – то любая из них). Вася положил в автомат 1000 шариков с номерами от 000 до 999. Сколько шариков с цифрой 5 он получит на выходе?
Задача 7.
1 января 2021 года утром в волшебном дворце собрались волшебницы. Каждый день года в полдень у всех волшебниц, кроме одной, увеличивается красота и магическая сила, а у оставшейся волшебницы увеличивается только один из этих параметров, а другой либо уменьшается, либо остаётся прежним. К вечеру 31 декабря 2021 года оказалось, что у всех волшебниц красота и магическая сила оказались прежними. Какое наибольшее количество волшебниц могло собраться во дворце?
Задача 8.
Дана таблица 2 × 20. Сколькими способами можно расставить в её клетках числа 1, 2, . . . , 40 так, чтобы суммы чисел в каждой строке и в каждом столбце были нечётны?
