Задача 1.
Среди 9 одинаковых на вид монет 8 весят одинаково, а последняя отличается от них по весу. Как за два взвешивания на чашечных весах определить, тяжелее эта монета остальных или легче?
Задача 2.
11 гномов живут в многоквартирном доме, который представляет из себя прямоугольник 8 × 7 (квартира — одна клеточка). На рисунке представлен план расселения (числами отмечены квартиры, в которых живут гномы, в остальных квартирах никто не живёт). Однажды гномы поссорились, но не очень, и переселились так, что те гномы, которые жили в квартирах, имеющих общую сторону, теперь стали жить в квартирах, имеющих общую вершину (но не имеют общей стороны). Нарисуйте пример того, как теперь они могут заселять дом.
Задача 3.
У Антона было пять единичных кубиков. Он склеил из них косую пирамидку (см. рисунок). Затем Антон вырезал из бумаги все пять различных тетрамино. Можно ли полученную фигуру из пяти кубиков оклеить пятью тетрамино в один слой? (Фигуры тетрамино можно переворачивать и сгибать по границам клеток.)
Задача 4.
Матбой длился более двух, но менее трёх часов. Саша записал в протоколе время его начала и время окончания (часы и минуты в 24-часовом формате) и обратил внимание, что числа, обозначающие часы и минуты, поменялись за время матбоя местами. Сколько мог длиться матбой с точностью до минуты?
Задача 5.
Замените три звёздочки знаком «+», а остальные три — знаком «×», чтобы получилось верное равенство: 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 = 2022. При необходимости можно использовать скобки.
Задача 6.
По кругу стоят 20 человек, каждый из которых — либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда врёт. Для каждого из них три ближайших человека слева и три ближайших человека справа являются его друзьями, а остальные — нет. Каждый произнёс фразу: «Среди моих друзей есть по крайней мере два лжеца». Какое наибольшее количество лжецов может быть среди них?
Задача 7.
Докажите, что при каждом 𝑁 > 6 числа от 1 до 𝑁 можно расставить по кругу так, чтобы любые два соседних отличались либо на 1, либо на 4.
Задача 8.
Петя и Вася играют в такую игру. Каждым ходом игрок называет натуральное число, меньшее 40, не имеющее общих делителей, больших 1, ни с одним из ранее названных чисел. Ходы делаются по очереди, первым ходит Петя. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?
