Задача 1.
В таблице 5 × 6 в каждой клетке лежит монета. У монеты две стороны: орёл и решка. Разрешено выбрать строку или столбец и все монеты в этом ряду перевернуть. Также разрешено выбрать строку или столбец, подвинуть все монеты в этом ряду на одну клетку и выскочившую монету, не переворачивая, положить на освободившееся место с другой стороны доски. Можно ли, используя только эти две операции, добиться того, чтобы на доске все монеты лежали орлами вверх вне зависимости от того, как монеты лежали вначале?
Задача 2.
У Коли есть 5 гирь массой 2, 3, 4, 5, 6 граммов. Он хочет добавить к ним ещё одну, чтобы полученные 6 гирь можно было разбить на три группы одинаковой массы. Сколькими способами можно добавить гирю?
Задача 3.
По доске 5 × 5 гуляет лепрекон с мешочком золотых монет. Одним ходом он переходит в соседнюю по стороне или углу клетку и, если клетка пустая, то кладёт на неё 3 золотые монеты. Если на клетке есть более одной монеты, то забирает к себе в мешочек 2 монеты, иначе одну. Изначально все клетки пустые, кроме центральной, на которой находится 11 монет, а лепрекон находится в угловой клетке. Может ли так оказаться, что после 100 ходов все клетки доски будут пустые? (После первого хода клетка, с которой ушёл лепрекон, остаётся пустой.)
Задача 4.
На доске написано шесть различных натуральных чисел. Никита записал в тетрадь одно из этих чисел, сумму каких-то двух записанных на доске чисел, сумму каких-то трёх записанных на доске чисел, . . . , сумму всех записанных на доске чисел. В итоге всего он записал шесть чисел. Какое наибольшее количество из них могли оказаться последовательными числами?
Задача 5.
Никита утверждает, что у него есть 3 восьмиклеточные дощечки (фигуры полимино), из которых он может сложить и прямоугольник 3 × 8, и прямоугольник 4 × 6 (в каждом прямоугольнике должны использоваться все 3 дощечки). Могут ли слова Никиты быть правдой?
Задача 6.
Великан Грохх положил в каждую клетку прямоугольника 3 × 4 булыжник. Веса булыжников попарно различны. Гермиона может указать на любую строку или любой столбец в прямоугольнике по своему усмотрению, а Грохх в ответ честно укажет на самый тяжёлый булыжник в этой строке или столбце соответственно. Сможет ли Гермиона с помощью таких операций гарантированно найти булыжник, который является одним из пяти самых тяжёлых?
