Задача 1.
Дано пятизначное число. Никита вычеркнул в нём одну цифру так, что получилось наибольшее возможное четырёхзначное число. Костя вычеркнул в исходном числе одну цифру так, что получилось наименьшее четырёхзначное число. Оказалось, что число, которое получил Никита, на 2022 больше числа, которое получил Костя. Могло ли оказаться так, что все цифры в записи пятизначного числа различны?
Задача 2.
В округе 𝑁 есть три посёлка 𝐴, 𝐵 и 𝐶, между каждыми двумя есть дорога. Пешеход идёт по дороге из 𝐴 в 𝐵 40 минут, а если через 𝐶, то 50 минут. Велосипедист едет из 𝐴 в 𝐶 15 минут, а если через 𝐵, то 30 минут. Сколько времени едет велосипедист из 𝐵 в 𝐶?
Задача 3.
В кафе, где подавали пироги, разрезанные на 12 равных кусков, пришла группа мальчиков и девочек. Каждый мальчик мог съесть шесть или семь кусков пирога, а каждая девочка – два или три куска. Оказалось, что четырёх пирогов им не хватает, а пять пирогов – слишком много. Сколько мальчиков и сколько девочек пришло в кафе?
Задача 4.
Антонио написал на доске натуральное число. Борисио посчитал все суммы соседних цифр в этом числе, они оказались попарно различными двузначными числами. Какое наибольшее число мог написать Антонио?
Задача 5.
Из клетчатого квадрата 101 × 101, столбцы и строки которого пронумерованы числами от 1 до 101, вырезали все клетки, обе координаты которых чётны. Сколькими способами в оставшейся фигуре можно выделить трёхклеточный уголок?
Задача 6.
Петя и Вася играют в игру на изначально пустой доске, делая ходы по очереди. Начинает Петя. За ход каждый игрок должен записать на доску натуральное число, которое до этого на доске ещё не встречалось. После того как каждый из игроков сделает по три хода, на доске окажется шесть натуральных чисел. Вася стремится к тому, чтобы эти шесть чисел можно было разбить на две группы по три числа таким образом, чтобы суммы чисел в группах были равны между собой. Сможет ли Петя помешать Васе осуществить свой план?
Задача 7.
Дом имеет размеры 2 × 3 × 3 и состоит из 18 квартир (каждый кубик 1 × 1 × 1 – одна квартира). В каждой квартире живёт рыцарь, который всегда говорит правду, или лжец, который всегда врёт. Однажды каждый житель дома заявил: «Всего среди всех моих соседей по грани чётное число лжецов». Какое наибольшее количество лжецов может жить в этом доме?
Задача 8.
Министерство охраны секретов использует на своих объектах четырёхзначные коды (от 0000 до 9999). Чтобы запудрить мозги сотрудникам, оно хочет сопоставить каждому коду некоторый цвет. При этом, если у одного кода в каждом разряде стоит не меньшая цифра, чем у другого, цвета этих двух кодов не должны совпадать. Какое наименьшее количество цветов сможет использовать министерство?
