Найдите числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, удовлетворяющие условиям 𝑎 : 𝑏 = 2 : 3, 𝑎 : 𝑑 = 3 : 5, 𝑏 : 𝑐 = 6 : 5, 2𝑑 − 𝑎 − 𝑐 = 26.

Аня, Белла, Вера, Галя и Даша соревновались в беге. Ровно две девочки прибежали к финишу одновременно. Оказалось, что:

1. не меньше трёх девочек прибежали раньше Ани;
2. после Беллы, но до Веры финишировали ровно две девочки;
3. хотя бы одна девочка прибежала раньше Гали;
4. Аня показала следующее время после времени Даши.

Какие две девочки показали одинаковый результат?

На доске написаны в ряд 2023 целых числа, которые удовлетворяют таким условиям:

1. среди каждых двух соседних чисел хотя бы одно положительно;
2. сумма любых трёх соседних чисел отрицательна;
3. произведение любых четырёх последовательных чисел положительно.

Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в ряду?

Какой остаток при делении на 16 даёт неполное частное от деления на 5 числа 3¹²³?

Докажите, что при каждом 𝑁 > 6 числа от 1 до 𝑁 можно расставить по кругу так, чтобы любые два соседних отличались либо на 1, либо на 4.

В стране 2022 города. Между каждыми двумя планируется организовать авиасообщение, поручив это одной из трёх авиакомпаний. Можно ли сделать это так, чтобы ни одна компания не обеспечила возможность добраться из любого города в любой другой только её рейсами?

Существует ли девятиугольник такой, что на каждой прямой, проходящей через его сторону, лежит хотя бы одна вершина девятиугольника, отличная от этой стороны?

Петя и Вася играют в такую игру. Каждым ходом игрок называет натуральное число, меньшее 40, не имеющее общих делителей, больших 1, ни с одним из ранее названных чисел. Ходы делаются по очереди, первым ходит Петя. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?