Задача 1.
При делении с остатком четырёх последовательных натуральных чисел на некоторое трёхзначное число оказалось, что сумма четырёх остатков равна 983. Найдите остаток при делении наименьшего из этих четырёх чисел на 109.
Задача 2.
Каждая клетка доски 9 × 9 покрашена в красный или зелёный цвет. Назовём горизонталь преимущественно красной, если в ней больше красных клеток, чем зелёных. Назовём вертикаль преимущественно зелёной, если в ней больше зелёных клеток, чем красных. Какое наибольшее значение может иметь сумма количества преимущественно красных горизонталей и преимущественно зелёных вертикалей?
Задача 3.
В некоторый прямоугольник можно поместить 100 кругов радиуса 2 без наложений. Докажите, что в него можно поместить 400 кругов радиуса 1 без наложений.
Задача 4.
На доске были написаны натуральные числа от 1 до 𝑛. Одно из чисел стёрли. Теперь среднее арифметическое чисел на доске равно 11¼. Какое число стёрли?
Задача 5.
Можно ли раскрасить все натуральные числа в два цвета так, чтобы каждые два числа, отличающиеся на 4, были разного цвета, и каждые два числа, отличающиеся в 4 раза, были разного цвета?
Задача 6.
Натуральные числа 𝑎 и 𝑏 таковы, что (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 3𝑏) делится на 4, но не делится на 8. Докажите, что (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 3𝑏)(𝑎 + 5𝑏) делится на 8, но не делится на 16.
Задача 7.
В языке племени УЫУЫ словом считается любая последовательность, составленная из букв У и Ы. Слово называют благозвучным, если в нём буквосочетания УЫ и ЫУ встречаются в нём одинаковое количество раз (возможно, 0). Сколько существует восьмибуквенных благозвучных слов, которые остаются благозвучными при вычёркивании любой буквы?
Задача 8.
У Алисы есть несколько карточек, на каждой из которых написаны три разных ненулевых цифры. Для любых двух ненулевых цифр у Алисы есть карточка, на которой есть обе эти цифры. Какое наименьшее количество карточек может быть у Алисы?
