Задача 1.
У Матвея есть много кубиков 1 × 1 × 1. У каждого такого кубика на одной паре противоположных граней стоит по одной точке, на другой паре противоположных граней — по две точки, и на оставшейся паре противоположных граней — по три точки. Из восьми таких кубиков Матвей хочет сложить куб 2 × 2 × 2 так, чтобы количества точек на гранях этого куба были шестью последовательными натуральными числами. Удастся ли ему это?
Задача 2.
Существует ли такое девятизначное число, у которого все цифры различны и которое при делении на все числа от 1 до 15 даёт все возможные остатки от 0 до 14?
Задача 3.
В ряд выписывают 2020 цифр, каждая из которых равна 1, 2 и 3. Между каждыми двумя цифрами 1 должна находиться ещё хотя бы одна цифра; между каждыми двумя цифрами 2 должны находиться ещё хотя бы две цифры; между каждыми двумя цифрами 3 должны находиться ещё хотя бы три цифры. Сколькими способами можно выписать такой ряд?
Задача 4.
Известно, что (𝑎 + 𝑏) / 𝑏 = 3/2 и 𝑐 / (𝑏 + 𝑐) = 4/5. Чему может быть равно (𝑐 − 𝑎) / 𝑐
Задача 5.
Из чисел 1, 2, . . . , 100 выбрали 50 различных чисел с суммой 2900. Какое наименьшее количество чётных чисел может быть среди выбранных?
Задача 6.
Медведь и Крокодил играют, двигая по очереди фишку по клеткам фигуры, изображённой на рисунке. В начале игры фишка стоит в самой левой клетке. Начинает Медведь. Своим ходом игрок может передвинуть фишку на ближайшую клетку вверх, по диагонали вверх-вправо, вправо или по диагонали вниз-вправо. Проигрывает не имеющий хода. Может ли кто-либо из игроков обеспечить себе победу, и если да, то кто?
Задача 7.
У Вовочки есть калькулятор с двумя кнопками, который при включении показывает 0. Если нажать на первую кнопку, число на дисплее увеличится на 1. К сожалению, если нажать на эту кнопку два раза подряд, калькулятор взорвётся. А если нажать на вторую кнопку, число на дисплее умножится на 3. На дисплее есть место только для пяти цифр, числа из большего количества цифр получать нельзя. Сколько разных чисел может получить Вовочка на своём калькуляторе (так, чтобы калькулятор не взорвался)?
Задача 8.
В каждой клетке квадрата 1001 × 1001 живёт коротышка. В первый день коротышка, живущий в центральной клетке, заболел. Каждый день заболевание распространяется: если в какой-то день у здорового коротышки болеет сосед, то на следующий день этот коротышка заболеет сам. Заболевание длится один день: если в какой-то день коротышка болеет, то на следующий он здоров. Сколько коротышек будет болеть в сотый день?
