Задача 1.
Выпуклый 2022-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. При каком наименьшем 𝑘 может оказаться, что концы любой диагонали соединяет ломаная, составленная не более, чем из 𝑘 сторон 2022-угольника?
Задача 2.
На тротуаре выписаны в ряд 999 натуральных чисел, не обязательно различных и не обязательно упорядоченных по возрастанию или по убыванию. Петя обвёл красным мелком 500 чисел. Оказалось, что эти числа – 1, 2, . . . , 500, встречающиеся в ряду в порядке возрастания слева направо. Вася обвёл зелёным мелком 500 чисел. Оказалось, что эти числа – 500, 499, . . . , 1, встречающиеся в ряду в порядке убывания слева направо. Докажите, что центральное (то есть пятисотое) число ряда обведено дважды.
Задача 3.
Вася выписывает все наборы четырёх разных делителей числа 48, произведение которых меньше 2022, а Петя – все наборы четырёх разных делителей числа 48, произведение которых больше 2022. У кого получится больше наборов?
Задача 4.
Вася округлил число 𝑎 до ближайшего целого числа, а 𝑏 до ближайшей дроби с целым числителем и знаменателем 10; сумма результатов оказалась 98,6. А Петя округлил 𝑎 до ближайшей дроби с целым числителем и знаменателем 10, а 𝑏 до ближайшего целого числа; сумма результатов оказалась 99,3. Какой наименьший результат может получиться, если округлить до десятых число 𝑎 + 𝑏? (Напомним, что при округлении числа, находящегося ровно посередине между двумя целыми, соотв., между двумя целыми количествами десятых, округляют в большую сторону.)
Задача 5.
Какое наибольшее количество таких фигур можно поместить на доске 7 × 7 по клеткам без наложений? Фигуры можно поворачивать и переворачивать.
Задача 6.
На прогулку вышло стадо хамелеонов: синих, зелёных и жёлтых. Зелёных хамелеонов было в 3 раза больше, чем синих, а жёлтых — в 3 раза больше, чем зелёных. Вскоре 55 жёлтых хамелеонов изменили цвет (стали синими или зелёными). В результате зелёных хамелеонов стало только в 2 раза больше, чем синих, а жёлтых — в 2 раза больше, чем зелёных. Сколько всего хамелеонов было на прогулке?
Задача 7.
На столе лежат две кучки, в одной 1703 спички, в другой 2022. Аня и Боря делают ходы по очереди, начинает Аня. При своём ходе игрок может либо забрать спичку из одной кучки, либо забрать по одной спичке из обеих кучек, либо, наконец, переложить спичку из одной кучки в другую. Проигрывает не имеющий хода. Может ли кто-либо из игроков обеспечить себе победу, и если да, то кто?
Задача 8.
Даны натуральное число 𝑎 и простое число 𝑝 такие, что 𝑎 не делится на 𝑝 и сумма остатков от деления числа 𝑎 на 𝑝, 2𝑝, 3𝑝, . . . , 20𝑝 делится на 𝑝. Найдите все возможные значения 𝑝.
