Задача 1.
Решите ребус: Т + У = Р + Н + И = Р + М + Ё = Б ⋅ И = У + С ⋅ A. (Одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, разными — разные.)
Задача 2.
Петя и Вася играют в игру на квадратном поле 8 × 8, начинает Петя. За один ход разрешается вырезать из доски по линиям сетки любой квадратик 1 × 1, в том числе из внутренней части доски; ходы делаются по очереди, пока каждый игрок не сделает по 2 хода. После этих 4 (двух парных) ходов на доске остаются 60 клеток. Если полученную в результате действий игроков фигуру можно разрезать по линиям сетки на две одинаковые части, то выигрывает Петя, в противном случае выигрывает Вася. Кто выигрывает при правильной игре обоих игроков?
Задача 3.
К числу, записанному на доске, можно прибавить (либо вычесть) любую цифру, которая есть в его записи. Старое число при этом стирается, а новое пишется на доску. Докажите, что начиная с числа 2020, можно получить любое число, больше 1000.
Задача 4.
По кругу стоят 20 жителей острова Рыцарей и Лжецов. Десять из них (не обязательно подряд идущих) сказали: «Среди людей, стоящих через одного человека от меня, есть лжец». Другие десять сказали: «Среди людей, стоящих через два человека от меня, есть лжец». Какое наибольшее количество лжецов могло быть среди них?
Примечание: Каждый обитатель этого острова является либо рыцарем, либо лжецом. Рыцари всегда говорят правду (то есть высказывают только истинные утверждения), лжецы всегда лгут (то есть их высказывания всегда ложны).
Задача 5.
Вася нарисовал на клетчатом листе бумаги две одинаковых трёхзвенных ломаных, вершины которых находятся в узлах сетки, и отметил все точки пересечения (в том числе отмечается и пересечение ломаной с ней самой). Какое наибольшее число точек у него могло получиться?
Задача 6.
Автобус ехал из города А в город В, на пути между которыми стоит село С. Когда автобус доехал до С, то оказалось, что он проехал столько километров, сколько минут ему осталось ехать до В. Но когда он проехал оставшуюся часть пути, то оказалось, что он проехал от С до В столько километров, сколько минут он затратил на дорогу от А до С. Какова скорость автобуса?
Задача 7.
Каждая клетка доски 5 × 10 покрашена в чёрный или белый цвет. Каждая клетка граничит по стороне хотя бы с одной клеткой другого цвета. Докажите, что чёрных клеток хотя бы 10.
Задача 8.
Рассмотрим все 5-значные числа, получающиеся перестановками цифр от 1 до 5. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма трёх таких чисел?