Задача 1.
В однокруговом турнире по шашкам участвовало 8 рыцарей и лжецов (каждый сыграл с каждым ровно один раз). По окончании турнира каждый сделал заявление: «Я обыграл лжецов больше, чем рыцарей». Какое наибольшее количество рыцарей могло быть среди них, если известно, что ничьих не было?
Задача 2.
На доске написаны несколько целых положительных различных чисел. Учительница попросила сложить любые два из них. У Афони получилось 24, у Бори — 27, у Вити — 30, у Гоши — 56. Какое наименьшее количество чисел могло быть написано на доске?
Задача 3.
Костя и Вася играют в игру на клетчатом поле 4 × 4. В свой ход можно в любую пустую клетку записать 0 или 1. Начинает Костя. Когда все клетки заполнены, подсчитывается количество пар соседних по стороне клеток, в которых стоят разные цифры. Если таких пар хотя бы 12, то выигрывает Вася. Кто из игроков может обеспечить себе победу вне зависимости от ходов соперника?
Задача 4.
В первую минуту суток на электронных часах горит 00:00, а в последнюю — 23:59. Сколько времени в течение суток на часах горит хотя бы одна единица и нет ни одной двойки?
Задача 5.
Среди 12 одинаково выглядящих монет — шесть латунных и шесть медных. За одну пробу специальным тестером можно выяснить, сколько из монет в этой пробе латунных. (В пробу можно взять любое количество монет.) Требуется за две пробы найти пару разных монет — одну латунную и одну медную. Какая именно монета латунная, выяснять не требуется.
Задача 6.
За два часа велосипедист проезжает на 2 км меньше, чем мотоциклист за час. За три часа велосипедист проезжает на 17 км меньше, чем мотоциклист за 2 часа. Найдите скорость велосипедиста.
Задача 7.
Верный пример на сложение содержит два слагаемых и сумму и составлен только из цифр 3, 6 и 7, причём все три цифры присутствуют. Известно, что оба слагаемых делятся на 3. Может ли сумма быть меньше 10000?
Задача 8.
Круг разделён на 100 секторов. В каждом из них написано одно из чисел от 1 до 100 (во всех секторах числа разные). В одном из секторов стоит фишка. Каждый раз фишка передвигается по часовой стрелке на число секторов, равное числу, написанному в секторе, в котором она находится, после чего число в этом секторе уменьшается на 1. Можно ли расставить числа и выбрать начальное положение фишки так, что в итоге все числа в секторах станут равны 0?
