Задача 1.
Петя и Вася играют в такую игру. Перед ними две кучки камешков. За один ход разрешается забрать два камешка из одной кучки и один из другой. Если такого хода сделать нельзя (например, если в обеих кучках осталось всего по одному камешку), то игрок, который не может сделать ход, проиграл. В начале игры в одной кучке 400 камешков, а в другой 450. Первый ход делает Петя. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?
Задача 2.
В футбольном чемпионате играют 18 команд. Каждая должна сыграть с каждой по одному разу, причём в каждом туре играют все команды, и все матчи тура проходят одновременно. Можно ли составить расписание чемпионата так, чтобы у каждой команды игры на своём поле и на выезде чередовались?
Задача 3.
Никита придумал новую диету. Он решил каждый вторник съедать по 1 кг мяса, а каждую пятницу съедать 1 кг рыбы, в остальные дни недели ни мяса, ни рыбы не есть. Никита придерживался своей диеты 5 полных лет (начал 1 января, а закончил 31 декабря), за это время Никита съел мяса меньше, чем рыбы. В какой день недели Никита закончил диету? (Замечание: в задаче идёт речь о годах в промежутке от 2020 до 2090)
Задача 4.
Магазин электроники меняет три старых айфона на один новый. Костя купил много-много айфонов и менял их до тех пор, пока мог. Всего ему удалось попользоваться 2020 айфонами. Сколько айфонов он купил в самом начале?
Задача 5.
На складе имеется 120 кг сахара-песка. Покупатель хочет купить ровно 35 кг, но у кладовщика есть только одна 8-килограммовая гиря, двухчашечные весы и запас мешков. Помогите ему взвесить нужное количество, обойдясь всего трёмя взвешиваниями.
Задача 6.
В детском садике во время утренней прогулки дети играли в пяти песочницах, а во время вечерней — в семи (количество детей осталось тем же самым). Докажите, что были по крайней мере три ребёнка, которые вечером играли в песочнице с меньшим количеством детей, чем утром.
Задача 7.
Бабушка плохо различает цифры 5 и 6 (то есть 5 она может понять как 5, так и 6, то же самое с 6). У внука в тетради она увидела три числа: 605, 556, 6056. Могла ли сумма трёх чисел оказаться палиндромом, если бабушка увидела ровно 4 цифры неправильно?
Задача 8.
На турнир матбоёв приехали Андрей, Борис, Вова, Гена и Дима. На второй бой они пришли в разных футболках этого турнира, на которых были написаны числа 1, 2, 3, 4, 5 (номера этого турнира), встали в ряд и по очереди сказали:
- — Число на Вовиной футболки чётное — сказал мальчик в футболке с 1-го турнира.
- — Произведение чисел на футболках Гены и Димы оканчивается на 0 — сказал Вова.
- — Сумма чисел на футболках моих соседей — чётное число, — сказал Гена.
- — Число на футболке Димы — самое большое, — сказал мальчик в футболке со 2-го турнира.
- — Число на моей футболке равно среднему арифметическому 1 и числа на футболке Вовы — сказал Дима.
Известно, что правду сказал только один мальчик. Какое число написано у него на футболке?
