На столе лежат сто пронумерованных алмазов, среди них 99 настоящих и один фальшивый. Пригласили эксперта, который может отличить настоящий алмаз от фальшивого. Эксперту показывают три алмаза, он указывает на два из них и говорит, сколько среди них фальшивых. Можно ли найти фальшивый алмаз вне зависимости от того, какие пары алмазов выбирал эксперт?

Петя и Вася играют в игру на квадратном поле 8 × 8, начинает Петя. За один ход разрешается вырезать из доски по линиям сетки любой квадратик 1 × 1, в том числе из внутренней части доски; ходы делаются по очереди, пока каждый игрок не сделает по 2 хода. После этих 4 (двух парных) ходов на доске остаются 60 клеток. Если полученную в результате действий игроков фигуру можно разрезать по линиям сетки на две одинаковые части, то выигрывает Петя, в противном случае выигрывает Вася. Кто выигрывает при правильной игре обоих игроков?

Назовем многоугольник красивым, если хотя бы две его стороны равны. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на два красивых треугольника и красивый пятиугольник.

Может ли сумма цифр натурального числа 𝑁 быть ровно вчетверо больше суммы цифр числа 2𝑁 ?

Рассмотрим все 5-значные числа, получающиеся перестановками цифр от 1 до 5. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма трёх таких чисел?

Одна ручка, три карандаша, пять ластиков и семь линеек стоят 126 рублей, а три ручки, два карандаша и один ластик стоят 56 рублей. Сколько стоит набор из ручки, карандаша, ластика и линейки?

Найдите такие 7 натуральных чисел, чтобы наименьшее общее кратное любых двух из них делилось на наименьшее общее кратное остальных пяти.

Каждая клетка доски 5 × 10 покрашена в чёрный или белый цвет. Каждая клетка граничит по стороне хотя бы с одной клеткой другого цвета. Докажите, что чёрных клеток хотя бы 10.