Задача 1.
Существует ли такое натуральное число 𝑁 , для которого сумма цифр числа 3𝑁 втрое меньше, чем сумма цифр числа 𝑁 ?
Задача 2.
В ряд лежали 8 мешочков, в каждом из которых было по 10 одинаковых монет. Одну из монет вынули и переложили в соседний справа мешочек. Как за два взвешивания на чашечных весах определить номер мешочка, из которого была вынута монета?
Задача 3.
Пузатостью прямоугольника назовём отношение его большей стороны к меньшей. Докажите, что можно разрезать квадрат площади 100 на четыре прямоугольника площади 10, 20, 30 и 40 так, чтоб пузатость каждого была меньше двух.
Задача 4.
Вася хочет выбрать несколько различных степеней двойки (2, 4, 8, 16, . . . ) так, чтобы ни сумма, ни разность никаких двух выбранных им чисел не делилась на 25. Какое наибольшее количество чисел удастся выбрать Васе?
Задача 5.
В стране 100 сенаторов, у каждого из которых ровно 4 помощника. Сенаторы и их помощники состоят в комитетах. Комитет может состоять либо из 5 сенаторов, либо из 4 сенаторов и 4 помощников, либо из 2 сенаторов и 12 помощников. Каждый сенатор состоит в пяти комитетах, а каждый помощник — в трёх. Сколько всего комитетов в стране?
Задача 6.
В ряд стоят 10 жителей острова Рыцарей и Лжецов. Пятеро из них сказали: «Справа от меня в ряду есть рыцарь», а пятеро других сказали: «Слева от меня в ряду есть лжец». Какое количество лжецов может быть среди них (укажите все возможности)? (Жителями острова Рыцарей и Лжецов являются рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда врут)
Задача 7.
ответНайдите 2020-е по счёту натуральное число, которое нельзя представить в виде произведения двух последовательных натуральных чисел.
Задача 8.
На вступительной олимпиаде команды решили в среднем 4 задачи, при этом команды 4 класса решили в среднем 3,6 задачи, а команды 5 класса — 4,2 задачи. Сколько всего было команд, если их меньше 30?
