Задача 1.
Петя и Вася играют в такую игру. Перед ними две кучки камешков. За один ход разрешается забрать два камешка из одной кучки и один из другой. Если такого хода сделать нельзя (например, если в обеих кучках осталось всего по одному камешку), то игрок, который не может сделать ход, проиграл. В начале игры в одной кучке 400 камешков, а в другой 450. Первый ход делает Петя. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?
Задача 2.
В футбольном чемпионате играют 28 команд. Каждая должна сыграть с каждой по одному разу, причём в каждом туре играют все команды, и все матчи тура проходят одновременно. Можно ли составить расписание чемпионата так, чтобы у каждой команды игры на своём поле и на выезде чередовались?
Задача 3.
Сумма трёх наибольших делителей натурального числа 𝑁 в 10 раз больше суммы трёх наименьших его делителей. Найдите все возможные значения 𝑁 .
Задача 4.
Магазин электроники меняет три старых айфона на один новый. Костя купил много-много айфонов и менял их до тех пор, пока мог. Всего ему удалось попользоваться 2020 айфонами. Сколько айфонов он купил в самом начале?
Задача 5.
Простым или составным является число 100 . . . 0900 . . . 01 (в каждой группе нулей их ровно по 2019 штук)? Ответ обоснуйте.
Задача 6.
На складе имеется 120 кг сахара-песка. Покупатель хочет купить ровно 35 кг, но у кладовщика есть только одна 8-килограммовая гиря, двухчашечные весы и запас мешков. Помогите ему взвесить нужное количество, обойдясь всего трёмя взвешиваниями.
Задача 7.
В детском садике во время утренней прогулки дети играли в пяти песочницах, а во время вечерней — в семи (количество детей осталось тем же самым). Докажите, что были по крайней мере три ребёнка, которые вечером играли в песочнице с меньшим количеством детей, чем утром.
Задача 8.
Никита придумал новую диету. Он решил каждый вторник съедать по 1 кг мяса, а каждую пятницу съедать 1 кг рыбы, в остальные дни недели ни мяса, ни рыбы не есть. Никита придерживался своей диеты 5 полных лет (начал 1 января, а закончил 31 декабря), за это время Никита съел мяса меньше, чем рыбы. В какой день недели Никита закончил диету? (Замечание: в задаче идёт речь о годах в промежутке от 2020 до 2090)
