Задача 1.
Можно ли число 12 + 22 + ... + 20202 представить в виде суммы ровно 1900 различных квадратов натуральных чисел?
Задача 2.
Два хулигана сложили во дворе кучку из 50 камней и начали играть в такую игру. Делая ходы по очереди, они увеличивают количество куч. За один ход хулиган делит все кучки, в которых больше одного камня, на две части каким угодно образом (при этом кучи из 1 камня не трогает). Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход (это случится, когда все кучи будут содержать ровно по 1 камню). Кто из игроков – начинающий или его партнёр – может гарантировать себе выигрыш?
Задача 3.
Среди 12 одинаково выглядящих монет — шесть латунных и шесть медных. За одну пробу специальным тестером можно выяснить, сколько из монет в этой пробе латунных. (В пробу можно взять любое количество монет.) Требуется за две пробы найти пару разных монет — одну латунную и одну медную. Какая именно монета латунная, выяснять не требуется.
Задача 4.
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 углы 𝐵 и 𝐶 равны 19º и 38º соответственно. 𝐴𝐷 — высота. Докажите, что 𝐵𝐷 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐷.
Задача 5.
Сколько существует таких троек натуральных чисел, для которых НОД(𝑎,20) = 𝑏, НОД(𝑏,15) = 𝑐 и НОД(𝑎,𝑐) = 5 и 𝑎 < 25.
Задача 6.
- Тревор: «Этот сконфуженный кот стоит 9600 рублей.»
- Джереми: «Кот дешевле, поскольку Тревор в 4 раза преувеличивает каждое число, которое называет. Хоть он только что и сказал про стоимость кота в 2400 рублей, кот на самом деле стоит 150 рублей.»
Подсчитайте, во сколько раз Джереми преуменьшает каждое произносимое число, и сколько на самом деле стоит сконфуженный кот.
Задача 7.
Учитель написал на доске четыре положительных числа и дал задание ученикам вычислить произведения любых двух из них. Из шести возможных пар ученики вычислили только пять произведений, и результаты оказались такими: 2, 3, 4, 5, 6. Какое произведение осталось невычисленным?
Задача 8.
Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Как из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за 1 час?
