Задача 1.
Существует ли число с чётным количеством цифр, не делящееся на 11, в котором нельзя заменить никакую одну цифру (возможно, даже на 0) так, чтобы получившееся в результате число делилось на 11?
Задача 2.
В каждой клетке квадрата 3 × 3 живёт волшебник. Каждое утро каждый волшебник (имеющий 𝑥 фиников) магическим образом прибавляет какому-то одному своему соседу ровно 𝑥 фиников. В начале у всех волшебников, кроме жителя центра, по 2 финика, а у волшебника в центре — 20 фиников. Может ли через некоторое время у всех волшебников оказаться поровну фиников?
Задача 3.
Есть 5 арбузов, которые весят 2 кг, 4 кг, 6 кг, 8 кг и 10 кг. Вам известно, какой именно весит 2 кг и какой – 10 кг, но вы не знаете весов остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на двухчашечных весах можно найти вес каждого из остальных арбузов?
Задача 4.
Учитель написал на доске 10 различных целых чисел. Петя сложил три наименьших из них и получил 45. Витя сложил два наибольших из них – и тоже получил 45. Сколько в сумме получилось у Толи, сложившего все остальные числа?
Задача 5.
Найдите все тройки цифр 𝑎, 𝑏, 𝑐, для которых пятизначные числа 𝑎𝑏𝑐𝑐𝑐 и 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏 отличаются на 1.
