Задача 1.
Саша утверждает, что у неё есть 4 попарно различные шестиклеточные дощечки (фигуры полимино), из которых она может сложить 2 разных прямоугольника (в каждом прямоугольнике должны использоваться сразу 4 дощечки). Могут ли слова Саши быть правдой?
Задача 2.
Дима придумал семнадцатизначное число, состоящее только из двоек и пятёрок, в котором сумма цифр делится на 43. Сколько в этом числе пятёрок?
Задача 3.
Петя написал на доске шестизначное число, которое делится на 2022. Хулиган Вася заменил две средние цифры на буквы 𝑥 и 𝑦. Получилось 22𝑥𝑦20. Какое число написал на доске Петя? (Приведите все варианты и докажите, что других нет.)
Задача 4.
Можно ли так расставить в клетках квадрата 4 × 4 единицы, двойки, тройки и четвёрки, чтобы в любой строке, в любом столбце, а также в любом квадрате 2 × 2 все цифры были разные?
Задача 5.
В забеге с участием 7 спортсменов все заняли разные места. На следующий день каждого из них спросили, какое место он занял, и каждый назвал одно из чисел от 1 до 7. Причём спортсмены, занявшие места с 1 по 3, назвали номер, который отличается от реального не более чем на 1, а все остальные — назвали номер, который отличается от реального не менее чем на 2. Могло ли быть так, что сумма их ответов оказалась равна 35?
Задача 6.
На доске написано число 123456789. За ход разрешается стереть любые несколько подряд идущих цифр и записать их на тех же местах, но в обратном порядке. (Например, первым ходом можно получить число 126543789.) Можно ли из исходного числа за три хода получить число 183654729?
Задача 7.
Лабиринт представляет из себя квадрат 10 × 10, в котором каждая сторона клеточки, расположенная на границе квадрата, а также некоторые другие стороны клеточек являются перегородками. Клетчатый прямоугольник 1 × 𝑛 называется коридором, если его торцы (стороны длины 1) являются перегородками, а внутренних перегородок нет. (В том числе, клеточка, у которой есть две противоположные стороны-перегородки, является коридором длины 1.) Оказалось, что в лабиринте 79 коридоров. Сколько всего сторон клеток являются перегородками?
Задача 8.
Можно ли составить из цифр от 1 до 9 (использовав каждую по одному разу) четыре числа, одно из которых делится на 36, другое на 37, третье на 38, а четвёртое на 39?
