Задача 1.
Существуют ли такие две клетчатые фигуры, что у одной из них и площадь, и периметр в два раза больше, чем у другой.
Задача 2.
В ряд стоят 11 рыцарей и лжецов. Один из них сказал: «Среди нас есть лжец». Каждый из остальных произнёс: «Между мной и последним сказавшим есть хотя бы один лжец». Известно, что первый сказавший стоит в центре. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди них?
Задача 3.
Из клетчатой доски вырезали 4 клетки, как показано на рисунке.
Имеется фишка, которая стоит в одной из уцелевших клеток доски. За ход фишку можно сдвинуть на одну клетку по горизонтали или вертикали, причём нельзя попадать в дырки. Можно ли по разу посетить все уцелевшие клетки и вернуться в исходную?
Задача 4.
Петя придумал операцию «усреднение числа». Он выбирает в числе две любые цифры, сумма которых чётна, складывает их, делит результат пополам и записывает полученные две одинаковые цифры на место исходных. Петя выбрал некоторое число, не содержащее нулевых цифр, провёл с ним несколько операций «усреднения» и получил в итоге 35477. Могла ли первая цифра в его исходном числе быть девяткой?
Задача 5.
Старший брат идёт от дома до школы 12 минут, а младший — 16 минут. Сколько минут потребуется старшему брату, чтобы догнать младшего, если тот вышел на одну минуту раньше?
Задача 6.
У каждого из трёх гномов есть несколько золотых и несколько серебряных монет. Они заметили, что у любых двоих из них суммарное число золотых монет равно числу серебряных монет третьего. Всего у гномов 2022 монеты. Сколько из них золотых и сколько серебряных?
Задача 7.
Назовём натуральное число странным, если оно не делится ни на одну из своих цифр. Найдите наибольшее странное число, в записи которого все цифры различны и не равны 0.
Задача 8.
В Африке живут обезьяны, крокодилы, львы и слоны, некоторые из которых умные, а некоторые красивые. При этом известно, что в Африке нет глупых некрасивых зверей. Однажды на поляне собралось 49 зверей. Оказалось, что среди любых семи зверей найдутся либо два зверя разной породы, либо два зверя, обладающие разными качествами. Докажите, что есть зверь, который одновременно является умным и красивым.
