Задача 1.
Знайка выложил из карточек с цифрами и знаками действий две строчки с верными равенствами. Незнайка смешал строчки, сдвинув все карточки из верхней строчки в нижнюю, но не меняя их порядок, и в результате получилась абракадабра: 82 × 5 + 69 = 3 = 712. Восстановите оба исходных равенства (отыщите все возможные варианты и докажите, что других нет).
Задача 2.
Фазенда дона Никиты представляет собой прямоугольник 3 × 5. В одной из клеток фазенды сидел крот. Дон Никита хочет поймать крота, поэтому стреляет по огороду из двух стволов со снотворным, то есть за один ход он может выстрелить сразу в 2 любые клетки огорода. Если дон Никита не попал в крота, то крот, услышав выстрел, пугается и переползает в соседнюю по стороне клетку. Также известно, что если после прошлого выстрела крот переползал по вертикали, то в этот раз он будет уползать по горизонтали. И наоборот, если до этого он переползал по горизонтали, то в следующий раз он будет уползать по вертикали. Покажите, как Никите попасть в крота не более чем за 4 хода.
Задача 3.
Саша утверждает, что у неё есть 4 попарно различные шестиклеточные дощечки (фигуры полимино), из которых она может сложить 2 разных прямоугольника (в каждом прямоугольнике должны использоваться сразу 4 дощечки). Могут ли слова Саши быть правдой?
Задача 4.
В забеге с участием 7 спортсменов все заняли разные места. На следующий день каждого из них спросили, какое место он занял, и каждый назвал одно из чисел от 1 до 7. Причём спортсмены, занявшие места с 1 по 3, назвали номер отличающийся от реального на 1, а остальные — на 2. Могло ли быть так, что сумма их ответов оказалась равна 20?
Задача 5.
На доске написано число 152638497. За ход разрешается взять любые три цифры подряд, к записанному ими числу прибавить 132 или вычесть из него 132 и записать полученный (трёхзначный!) результат на тех же местах вместо исходных цифр. (Например, первым ходом можно получить число 284638497.) Можно ли из исходного числа за несколько ходов получить число 526384971?
Задача 6.
Среди четырёх монет могут быть ноль, одна или несколько фальшивых. Известно, что все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые монеты весят одинаково, но не известно, какая монета легче — фальшивая или настоящая. Как за два взвешивания (на двухчашечных весах) выяснить, верно ли, что количество фальшивых монет равно 2?
Задача 7.
На олимпиаде 4-6 классов все участники решали одни и те же четыре задачи. Четверо шестиклассников решили первую задачу, двое — вторую, трое — третью и один — четвёртую. Один пятиклассник решил первую задачу, один — вторую, двое — третью. Четвероклассники в сумме решили 7 задач. Оказалось, что в итоге самой лёгкой задачей олимпиады оказалась та задача, которая не была самой лёгкой ни в одном из классов. (Самой лёгкой называется задача, которую решило больше всего детей. Если таких задач больше одной, мы считаем, что самой лёгкой задачи нет.) Как распределились решения задач по четвероклассникам?
Задача 8.
Можно ли составить из цифр от 1 до 9 (использовав каждую по одному разу) четыре числа, одно из которых делится на 36, другое на 37, третье на 38, а четвёртое на 39?
