Задача 1.
По кругу стоят 99 пустых коробочек. Володя и Гриша играют в следующую игру. За один ход в одну из пустых коробочек можно положить или 1 доллар, или 1 рубль. Доллар можно класть только в коробочку, рядом с которой нет коробочки с долларом. Рубль можно класть только в такую коробочку, рядом с которой в обеих коробочках уже лежит по 1 доллару. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первым ходит Гриша. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?
Задача 2.
В ряд стоят 11 рыцарей и лжецов. Один из них сказал: «Среди нас есть лжец». Каждый из остальных произнёс: «Между мной и последним сказавшим есть хотя бы один лжец». Известно, что первый сказавший стоит в центре. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди них?
Задача 3.
38 детей играют в снежки. Володя скомандовал громким голосом: «Крокодил!», — и каждый, в том числе и Володя, кинул в кого-то ровно один снежок. Оказалось, что количество тех, в кого попало 2 снежка в два раза меньше, чем количество детей, в которых попало 3 снежка. Все остальные снежки попали в Володю, причём их количество оказалось в два раза меньше количества детей, в которых не попало ни одного снежка. Сколько снежков попало в Володю?
Задача 4.
У скольких четырёхзначных чисел сумма цифр равна 5?
Задача 5.
Найдите все решения уравнения 𝑝2𝑞 – 𝑝 = 60 в простых числах (𝑝, 𝑞).
Задача 6.
По кругу расположены 2022 точки. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. За ход разрешается нарисовать треугольник с красными сторонами и вершинами в отмеченных точках. Запрещено рисовать один и тот же красный отрезок дважды; кроме того, красные отрезки не могут пересекаться, то есть не могут иметь общих точек кроме концов. Тот, кто не может сделать ход — проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре обоих игроков?
Задача 7.
Назовём натуральное число странным, если оно не делится ни на одну из своих цифр. Найдите наибольшее странное число, в записи которого все цифры различны и не равны 0.
Задача 8.
В Африке живут обезьяны, крокодилы, львы и слоны, некоторые из которых умные, а некоторые красивые. При этом известно, что в Африке нет глупых некрасивых зверей. Однажды на поляне собралось 49 зверей. Оказалось, что среди любых семи зверей найдутся либо два зверя разной породы, либо два зверя, обладающие разными качествами. Докажите, что есть зверь, который одновременно является умным и красивым.
