Задача 1.
Саша сложил 27 стандартных игральных кубиков в один куб 3 × 3 × 3. Он утверждает, что сумма очков на всех гранях его куба равна 290. Докажите, что Саша ошибся. (В стандартном игральном кубике грани расположены так, что сумма очков на каждой паре противоположных граней равна 7.)
Задача 2.
Есть три монеты весом 7 г и три монеты весом 8 г. Все монеты выглядят одинаково. Можно ли за два взвешивания на двухчашечных весах без гирь разделить монеты на три пары, каждая из которых весит 15 г?
Задача 3.
У Кости был квадратный ломтик сыра площадью 360 см2. Костя съел часть сыра таким образом, что новый ломтик сыра вновь оказался квадратным, но его периметр уменьшился в 3 раза. Сколько квадратных сантиметров сыра съел Костя?
Задача 4.
Можно ли в клетках таблицы 8 × 8 расставить крестики и нолики так, чтобы никакие три одинаковых знака не располагались подряд ни по горизонтали, ни по вертикали, ни по диагонали?
Задача 5.
Прямоугольник разрезан двумя прямыми линиями на четыре меньших прямоугольника, как показано на рисунке. Ясно, что левый нижний прямоугольник самый большой, а правый верхний — самый маленький из четырёх. Как, не проводя никаких измерений, с помощью одной линейки (без делений) выяснить, площадь какого из остальных двух четырёхугольников больше — правого нижнего или левого верхнего?
Задача 6.
Миша и Маша катались на коньках. В понедельник Миша за 15 минут проехал на 840 метров больше, чем Маша проехала за 12 минут. Во вторник Маша проехала на 40 метров больше, чем Миша, но она каталась 8 минут, а Миша — 5 минут. Найдите скорости катания Миши и Маши. (Скорости во вторник остались прежними).
Задача 7.
На доске написано число. За один ход можно либо разделить его на 2 (если делится нацело), а потом прибавить 1, либо умножить его на 5, а потом прибавить 1. Можно ли такими операциями получить из числа 6 число 2022?
Задача 8.
У царя сто министров. Каждый министр считает хотя бы одного министра честным и хотя бы одного министра умным. При этом, если министр А считает министра Б честным, то все министры, считающие министра А умным, тоже считают министра Б честным. А если министр А считает министра Б умным, то все министры, считающие А честным, также считают министра Б умным. Докажите, что хотя бы один министр считает себя умным.
