Цветик-семидесятицветик имеет 30 красных и 40 зелёных лепестков. Лепестки можно срывать только парами. Если сорвать два красных лепестка, то вырастут красный и зелёный. Если сорвать два зелёных, то вырастет красный. А если сорвать красный и зелёный, то вырастут два зелёных. Девочка Женя 60 раз срывала по два лепестка, и красных лепестков совсем не осталось. А сколько осталось зелёных лепестков?

Двое играют в игру на треугольной доске, разделённой на 36 треугольничков (см. рисунок). Своим первым ходом первый игрок может поставить игральную фишку на любую маленькую треугольную клетку кроме тех, что находятся в углах большого треугольника. После этого игроки начинают по очереди делать ходы этой фишкой, при этом каждый раз нужно перемещать фишку в соседнюю по стороне треугольную клетку. Кроме того, запрещено посещать более 1 раза одну и ту же треугольную клетку (в том числе первоначальную). Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто из игроков может одержать победу вне зависимости от действий другого игрока?

Матвей строит бассейн: по периметру прямоугольником он ставит на землю бетонные кубы вплотную друг к другу, а на некоторые из них сверху ещё ставит пирамидку (см. рисунок). Когда он с гордостью оглядел своё творение, он заметил, что у его бассейна 48 видимых граней (те грани, которые примыкают к земле или касаются друг друга, конечно, не видны). Чему могло быть равно общее количество использованных блоков (суммарное число кубов и пирамидок)?

Уголком называется фигура, состоящая из двух одинаковых прямоугольников, примыкающих к соседним сторонам квадрата. Докажите, что два разных уголка не могут иметь одинаковую площадь и одинаковый периметр.

На доске написано пять натуральных чисел (среди них могут быть повторяющиеся). К доске подошли 10 детей и посмотрели на числа, после чего каждый ребёнок сделал заявление.

• Первый: «Среди чисел на доске есть два, произведение которых равно 1».
• Второй: «Среди чисел на доске есть два, произведение которых равно 2».
• …
• Десятый: «Среди чисел на доске есть два, произведение которых равно 10».

Какое наибольшее количество детей могли сказать правду?

По кругу стояли 10 человек, каждый из них был рыцарем или лжецом. Каждому в круге задали вопрос: «Сколько среди твоих соседей рыцарей?» Было получено 5 пар одинаковых ответов (всего было получено лишь 5 различных ответов). Сколько рыцарей могло быть?

Назовём пару ладей, стоящих на клетчатой доске, «хорошей», если на этой доске есть пустая клетка, которую обе эти ладьи бьют. На доску 9 × 9 поставили 18 ладей. Докажите, что на доске найдётся пара ладей, которая не является «хорошей». (Ладья бьёт пустую клетку, если они находятся в одной строке или столбце, а между ними нет других фигур.)

Сегодняшняя дата записывается как ДД.ММ.ГГГГ. Сколько всего таких дат в XXI веке, для записи которых требуется 4 пары одинаковых чётных цифр (всего в записи даты используется лишь 4 различные цифры)?