Задача 1.
Можно ли расставить 4 различных составных числа по кругу так, чтобы из любых двух соседних большее делилось на меньшее, а в каждой паре противоположных большее не делилось на меньшее?
Задача 2.
Саша написала на 4 карточках из плотной непрозрачной бумаги числа от 1 до 4 (каждое по разу на одной из карточек). Затем она выложила карточки по кругу на столе в каком-то порядке числами вниз (то есть все карточки сверху неотличимы). После этого к столу подошёл Никита; ему разрешается за 1 операцию указать на любые 2 карточки, чтобы Саша честно ответила, на какой карточке число больше, и на сколько. Покажите, как за 3 операции Никите определить числа на всех карточках.
Задача 3.
Имеется несколько доминошек трёх типов: каждая покрашена в два из трёх имеющихся цветов — всего три разных вида. Доминошки выложены в замкнутую цепочку по правилам игры домино. Может ли так случиться, что количества доминошек каждого типа являются трёмя последовательными числами?
Задача 4.
Из различных цифр от 1 до 9 составлены 4 числа. Самое большое из них составлено из самых маленьких цифр, а два средних делятся на 19. Найдите самое маленькое из них.
Задача 5.
Имеет ли числовой ребус НА + ПОЛЕ = РЯБЬ хотя бы одно решение? Одинаковые цифры заменены на одинаковые буквы, а разные цифры на разные буквы.
Задача 6.
Клетки доски 3 × 3 окрашены в шахматном порядке так, что углы окрашены в чёрный цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любой уголок из трёх клеток. Можно ли с помощью таких операций перекрасить всю доску в белый цвет?
Задача 7.
Никита приехал в отпуск на остров (время прибытия и отъезда произошло в неизвестное время суток). Каждый раз, встречая закат или восход на острове, Никита плакал. Зато в каждый полдень на острове Никита смеялся. Известно, что всего за время отпуска Никита плакал 114 раз. Сколько раз он мог смеяться во время отпуска?
Пояснение: Восход на острове происходит задолго до полудня, а заход через некоторое продолжительное время после полудня.
Задача 8.
Каждый день, когда Миша приходит в школу, он получает 1 двойку, 2 тройки, 5 четвёрок и 6 пятёрок. Каждый день, когда Маша приходит в школу, она получает 5 двоек, 2 тройки, 5 четвёрок и 9 пятёрок. Известно, что Миша и Маша несколько раз сходили в школу и получили 3000 пятёрок. Сколько всего двоек, троек и четвёрок получили дети? (Миша и Маша могут прогуливать школу в разные дни.)
