Задача 1.
У Никиты есть 1 белый, 5 синих и 5 красных шариков. Он хочет выложить их по кругу так, чтобы подряд не лежали ни 3 одноцветных шарика, ни 3 разноцветных. Сможет ли Никита справиться с этой задачей?
Задача 2.
В ряд стоит 10 человек, среди которых девять рыцарей и один лжец. Разрешается подойти к любому человеку в ряду и задать ему вопрос: «Среди твоих соседей есть лжец?» После того как вы услышите ответ, вы можете снова задать вопрос любому в ряду. Как, задав не более четырёх вопросов, точно определить лжеца?
Задача 3.
По кругу расставлено 90 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел вычислили их сумму. Может ли каждое двузначное число присутствовать среди этих сумм?
Задача 4.
Разрежьте фигуру ниже на три одинаковые части по линиям сетки.
Задача 5.
На доске записаны натуральные числа от 1 до 100 (каждое по одному разу). Двое играют в игру, делая ходы по очереди. Каждым ходом нужно стереть с доски одно из написанных чисел. Проигрывает тот, после чьего хода среди чисел на доске нельзя будет выбрать три таких числа, сумма которых делится на 3. Кто из игроков, первый или второй, может выиграть вне зависимости от ходов противника?
Задача 6.
Нумерация страниц книги начинается с 1, а заканчивается некоторым трёхзначным числом. Известно, что цифр 1 при нумерации использовано столько же, сколько цифр 2 и 3 вместе взятых. Сколько страниц может быть в книге?
Задача 7.
Миша расставляет на доске 4 × 4 числа от 1 до 16 (каждое по одному разу). Затем Гриша кладёт на доску одну доминошку и получает количество конфет, равное сумме двух чисел, покрытых доминошкой. Какое наибольшее число конфет может гарантировать Гриша, вне зависимости от расстановки чисел Мишей?
Задача 8.
Существует ли число, которое в 2023 раза больше суммы своих простых делителей с учётом их повторений (например, у числа 12 сумма делителей равна 2 + 2 + 3 = 7)?
