Задача 1.
Антон и Боря играют в игру, делая ходы по очереди, начинает Антон. Изначально у них была пустая клетчатая доска размером 5 × 5. Каждым ходом можно поставить любое натуральное число в любую свободную клетку. Когда пустых клеток не остаётся, игроки считают произведения всех чисел в каждой строке, каждом столбце и на двух главных диагоналях. Боря объявляется победителем, если все 12 произведений чётны, иначе выигрывает Антон. Кто может выиграть при любой игре соперника?
Задача 2.
По окружности расставлено 75 красных и 75 синих точек. Для каждой красной точки оказалось, что среди 12 следующих за ней по часовой стрелке точек красных столько же, сколько и среди 12 предыдущих точек. Могло ли так оказаться, что для каждой синей точки среди 12 следующих за ней по часовой стрелке точек красных ровно на одну больше или ровно на одну меньше, чем среди предыдущих 12?
Задача 3.
На птичьем базаре продают птиц. Известно, что более 1/7 всех птиц составляют страусы, более 1/3 всех птиц – голуби и более 1/2 всех птиц – попугаи. Какое наименьшее количество птиц может продаваться на базаре?
Задача 4.
В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки прямоугольника 2 × 8 так, чтобы каждая клетка имела соседей по стороне ровно двух цветов?
