Ответ на задачу: Найдите три числа так, чтобы наибольшее превосходило среднее на одну треть наименьшего, среднее было больше наименьшего на одну треть наибольшего, наименьшее на 10 больше одной трети среднего. Назовите сумму этих трёх чисел.

Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 8 класс, 2012 год, 2 этап

дата проведения: 26 февраля 2012

источник: http://ingvarr.net.ru/forum/4-10255-1

Задача 1.

Найдите три числа так, чтобы наибольшее превосходило среднее на одну треть наименьшего, среднее было больше наименьшего на одну треть наибольшего, наименьшее на 10 больше одной трети среднего. Назовите сумму этих трёх чисел.

Ответ на Задачу 1.

Ответ: Это числа 22,5; 37,5; 45. Их сумма равна 105.

Решение:

Пусть $a < b < c$ – данные числа в возрастающем порядке, тогда

$c = b + \frac{a}{3}$

$b = a + \frac{c}{3}$

$a = 10 + \frac{b}{3}$

$c = b + \frac{a}{3} = a + \frac{c}{3} + \frac{a}{3} = \frac{4 a}{3} + \frac{c}{3}$

$\frac{2 c}{3} = \frac{4 a}{3}$

$c = 2 a$

$2 a = b + \frac{a}{3}$

$b = \frac{5 a}{3}$

$a = 10 + \frac{b}{3} = 10 + \frac{5 a}{9}$

$\frac{4 a}{9} = 10$

$a = \frac{90}{4} = 22.5$

$b = \frac{5 a}{3} = 37.5$

$c = 2 a = 45$

$a + b + c = 22.5 + 37.5 + 45 = 105$