Конечное множество $\mathcal{S}$ точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек $A$ и $B$ из множества $\mathcal{S}$ найдётся точка $C$ из множества $\mathcal{S}$ такая, что $A C=B C$. Множество $\mathcal{S}$ будем называть эксцентричным, если для любых трёх различных точек $A$, $B$ и $C$ из множества $\mathcal{S}$ не существует точки $P$ из множества $\mathcal{S}$ такой, что $P A=P B=P C$.

1. Докажите, что для любого целого $n \geqslant 3$ существует сбалансированное множество, состоящее из $n$ точек.
2. Найдите все целые $n \geqslant 3$, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из $n$ точек.

Найдите все тройки $(a, b, c)$ целых положительных чисел такие, что каждое из чисел

$$ a b-c, \quad b c-a, \quad c a-b $$

является степенью двойки.

(Степенью двойки называется число вида $2^n$, где $n$ — целое неотрицательное число.)

Пусть $A B C$ – остроугольный треугольник, в котором $A B>A C$. Пусть Г – окружность, описанная около него, $H$ – его ортоцентр, а $F$ – основание высоты, опущенной из вершины $A$. Пусть $M$ - середина стороны $B C$. Пусть $Q$ – точка на окружности $\Gamma$ такая, что $\angle H Q A=90^{\circ}$, а $K$ – точка на окружности Г такая, что $\angle H K Q=90^{\circ}$. Пусть точки $A, B, C, K$ и $Q$ различны и лежат на окружности $\Gamma$ в указанном порядке.

Докажите, что окружности, описанные около треугольников $K Q H$ и $F K M$, касаются друг друга.

Пусть $\Omega$ – окружность, описанная около треугольника $A B C$, а точка $O$ – её центр. Окружность $\Gamma$ с центром $A$ пересекает отрезок $B C$ в точках $D$ и $E$ так, что точки $B$, $D$, $E$ и $C$ все различны и лежат на прямой $B C$ в указанном порядке. Пусть $F$ и $G$ – точки пересечения окружностей $\Gamma$ и $\Omega$, при этом точки $A$, $F$, $B$, $C$ и $G$ лежат на $\Omega$ в указанном порядке. Пусть $K$ – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника $B D F$, и отрезка $A B$. Пусть $L$ – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника $C G E$, и отрезка $C A$. Пусть прямые $F K$ и $G L$ различны и пересекаются в точке $X$.

Докажите, что точка $X$ лежит на прямой $A O$.

Пусть $\mathbb{R}$ - множество всех действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, удовлетворяющие равенству:

$$ f(x+f(x+y))+f(x y)=x+f(x+y)+y f(x) $$

для всех действительных чисел $x$ и $y$.

Последовательность $a_1, a_2, \ldots$ целых чисел удовлетворяет следующим условиям:

1. $1 \leqslant a_j \leqslant 2015$ для всех $j \geqslant 1$;
2. $k+a_k \neq \ell+a_{\ell}$ для всех $1 \leqslant k<\ell$.

Докажите, что существуют два положительных целых числа $b$ и $N$ таких, что $$ \left|\sum_{j=m+1}^n\left(a_j-b\right)\right| \leqslant 1007^2 $$ для всех целых чисел $m$ и $n$, удовлетворяющих условию $n>m \geqslant N$.