Задача 1.
Санта и Эльфы готовят подарки детям. Причем всегда подарки дарят всем детям в равном количестве. Все подарки, которые раздать не получилось, забирает Гринч. Пересчитав число подарков в мешке, Санта заметил, что если их раздавать пятерым, то Гринч получит два подарка. А если четверым, то один подарок. А если троим, то и вовсе Гринчу ничего не останется. Какое наименьшее число подарков могло быть в мешке?
Задача 2.
Из ряда натуральных чисел изъяли все числа, которые являются степенями натуральных чисел (являются степенями с показателем больше 1). Какое число стоит на 123 месте среди оставшихся?
Задача 3.
На нескольких карточках Вася написал цифру, а с оборота букву (если цифры равны, то буквы одинаковы, если цифры различны – буквы разные). Вася считает сумму цифр на карточках. Если выложить слово ЛОМ получится сумма 5, МОЛВА – 21, ВОЛ – 13, ВИНА – 28. А что получится в сумме, если выложить слово ЛИАНА?
Задача 4.
В прямоугольном параллелепипеде длина равна 4 м, ширина — 8 м. Также известно, что периметры двух каких-то смежных граней параллелепипеда отличаются на 2 м. Найти объём параллелепипеда.
Задача 5.
Десять точек расположены так, как показано на рисунке. Какое наименьшее число точек нужно стереть, чтобы не нашлось правильного треугольника с вершинами в этих точках?
Задача 6.
Известно, что A, B, C натуральные числа, все они принадлежат множеству простых или составных чисел. Найдите все решения уравнения A × B × C = 2022.
Задача 7.
Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в четыре бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла треть его объёма, во втором бидоне вода заняла 40% его объёма, в третьем бидоне – 3/7 его объёма, а в четвёртом 7/9. Бак и все четыре бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака возможна такая ситуация?
Задача 8.
Докажите, что 93 + 103 + 113 + 123 — составное число.
Задача 9.
Квадрат с периметром 20 см разделили на 4 одинаковых треугольника и один чёрный квадрат. Площадь треугольника равна 6 см2. Найти стороны треугольника, если они целочисленные. Без предположений и перебора.
Задача 10.
Из Цзюцюань в Ханчжоу, расположенные друг от друга на расстоянии 3000 км, требуется перевезти 300 тонн груза. Товарный поезд едет со скоростью 100 км/ч и имеет грузоподъемность 60 тонн. Скорый поезд едет со скоростью 120 км/ч и имеет грузоподъемность 50 тонн. Какой из поездов быстрее перевезёт весь груз в Ханчжоу?
