Задача 6.
Дерево-квадерево имеет квадратное поперечное сечение с квадратными же кольцами на нём. Например, сечение дерева-квадерева с пятью кольцами (центральный белый квадрат тоже считается «кольцом») выглядит так:
Зведочёт Ефим после долгих поисков нашёл пень такого дерева и после долгих изысканий выяснил следующее:
- на пне 6 колец
- обхват пня равен 96 локтям
- для любых двух соседних (касающихся друг друга) колец площадь внешнего кольца (именно «кольца», то есть квадрата с квадратной дыркой) вдвое больше площади внутреннего кольца (которое является квадратом без дырки только в случае центрального белого квадрата)
Каков обхват третьего, если считать от центра пня, кольца?
Ответ на Задачу 6.
Ответ: 32 локтя.
Решение:
Обозначим стороны колец буквами $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ (начиная изнутри). Имеем равенства:
$$ 2 \cdot a \cdot a = b \cdot b - a \cdot a $$
$$ 2 \cdot (b \cdot b - a \cdot a) = c \cdot c - b \cdot b $$
$$ 2 \cdot (c \cdot c - b \cdot b) = d \cdot d - c \cdot c $$
$$ 2 \cdot (d \cdot d - c \cdot c) = e \cdot e - d \cdot d $$
$$ 2 \cdot (e \cdot e - d \cdot d) = f \cdot f - e \cdot e $$
равносильные следующим:
$$ b \cdot b = 3 \cdot a \cdot a $$
$$ c \cdot c = 7 \cdot a \cdot a $$
$$ d \cdot d = 15 \cdot a \cdot a $$
$$ e \cdot e = 31 \cdot a \cdot a $$
$$ f \cdot f = 63 \cdot a \cdot a $$
Отсюда видно, что $ f \cdot f = (3 \cdot c) \cdot (3 \cdot c) $. Из этого же равенства сразу следует (в силу того, что площадь квадрата возрастает с возрастанием длины стороны), что $ f = 3 \cdot c $.
Поэтому сторона (как и обхват) третьего кольца втрое меньше стороны (и, соответственно, обхвата) внешнего кольца.
Итого обхват третьего кольца равен 32 локтям.
