Задача 4.
Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?
Ответ на Задачу 4.
Ответ: −2.
Решение:
Дано:
$ a^2 − b^2 = 6$
$(a − 2)^2 − (b − 2)^2 = 18$
Дальше можно действовать по-разному.
Способ 1.
$(a − 2)^2 − (b − 2)^2 = a^2 − 4a + 4 − b^2 + 4b − 4 = a^2 − b^2 − 4(a − b)$.
Так как из первого условия $a^2 − b^2 = 6$, получаем, что $6 − 4(a − b) = 18$. Отсюда $a − b = −3$, и из первого уравнения получаем, что $a + b = −2$.
Способ 2.
$ a^2 − b^2 = (a − b)(a + b) = 6$
$(a − 2)^2 − (b − 2)^2 = (a − b)(a + b − 4) = 18$
Очевидно, все множители в приведённых равенствах не равны нулю. Разделим второе уравнение на первое и обозначим искомую сумму $a + b = x$. Тогда $\displaystyle \frac{x − 4}{x} = 3$, откуда $x = −2$.
