Ответ на задачу: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB на стороне CB выбрана точка D так, что CD = AC – AB. Точка M — середина AD. Докажите, что угол BMC

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2015 год, 2 этап

дата проведения: 19 октября 2015 - 25 октября 2015

источник: https://vos.olimpiada.ru/archive/table/tasks/years/2015/#math

Задача 5.

В равнобедренном треугольнике $A B C$ с основанием $A B$ на стороне $C B$ выбрана точка $D$ так, что $C D$ = $A C$ – $A B$ . Точка $M$ — середина $A D$ . Докажите, что угол $B M C$ — тупой.

Ответ на Задачу 5.

Решение:

Так как $C D$ = $A C$ − $A B$ = $B C$ − $A B$ , получаем, что $D B$ = $A B$ , а значит, треугольник $A B D$ равнобедренный. Тогда его медиана $B M$ является и высотой, т.е. угол $B M D$ прямой. Значит, $∠ B M C$ = $∠ B M D$ + $∠ D M C$ = 90° + $∠ D M C$ > 90° тупой.