Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2015 год, 2 этап
дата проведения: 19 октября 2015 - 25 октября 2015
Задача 6.
Квадрат с вершинами в узлах сетки и сторонами длиной 2015, идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников. Верно ли, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4?
Ответ на Задачу 6.
Ответ: Да, верно.
Решение:
Если периметр прямоугольника не делится на 4, то сумма его сторон не делится на 2. Сумма двух целых чисел не делится на 2, если они разной чётности, т. е. периметр прямоугольника не делится на 4, если одна его сторона чётная, а другая нечётная. Но тогда его площадь должна быть чётной. Однако площадь каждого из составляющих квадрат 2015 × 2015 прямоугольников чётной быть не может, так как иначе их суммарная площадь была бы тоже чётной, но площадь квадрата 2015 × 2015 нечётна.
