Ответ на задачу: В треугольнике ABC медиана, выходящая из вершины A, перпендикулярна биссектрисе угла B, а медиана, выходящая из вершины B, перпендикулярна биссектрисе угла A. Известно, что сторона AB = 1. Найдите периметр треугольника ABC.

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2015 год

дата проведения: 19 октября 2015 - 25 октября 2015

источник: https://vos.olimpiada.ru/archive/table/tasks/years/2015/#math

Задача 5.

В треугольнике $A B C$ медиана, выходящая из вершины $A$ , перпендикулярна биссектрисе угла $B$ , а медиана, выходящая из вершины $B$ , перпендикулярна биссектрисе угла $A$ . Известно, что сторона $A B$ = 1. Найдите периметр треугольника $A B C$ .

Ответ на Задачу 5.

Ответ: 5.

Решение:

Пусть $A M$ — медиана, проведённая из вершины $A$ . Тогда в треугольнике $A B M$ биссектриса угла $B$ перпендикулярна стороне $A M$ , т.е. биссектриса является и высотой. Значит, этот треугольник равнобедренный, $A B$ = $B M$ = 1. Но тогда $B C$ = 2 $B M$ = 2. Аналогично из второго условия получаем, что сторона $A C$ в два раза больше $A B$ , т.е. периметр треугольника $A B C$ равен 1 + 2 + 2 = 5.