Задача 3.
В выражении $\displaystyle \frac{Р⋅А⋅З+Р⋅Е⋅З⋅А⋅Й}{С⋅Р⋅А⋅З⋅У}$ замените каждую из букв Р, А, З, Е, Й, С, У на какую-то из цифр от 1 до 9 (одинаковые буквы — на одинаковые цифры, разные буквы — на разные цифры) так, чтобы значение выражения получилось наибольшим. Покажите, как нужно расставить цифры, вычислите значение вашего выражения и объясните, почему оно наибольшее.
Ответ на Задачу 3.
Ответ: Наибольшее значение равно 36,5 и достигается, например, при С = 1, У = 2, Е = 9, Й = 8, Р = 4, А = 5, З = 6.
Решение:
Вынесем за скобки общий множитель в числителе дроби и сократим:
$\displaystyle \frac{Р⋅А⋅З⋅(1 + Е⋅Й)}{С⋅Р⋅А⋅З⋅У} = \frac{1 + Е⋅Й}{С⋅У}$
Поскольку каждая буква заменяет одну цифру, С ⋅ У ≥ 2 и Е ⋅ Й ≤ 72. Поэтому
$\displaystyle \frac{1 + Е⋅Й}{С⋅У} ≤ \frac{1 + 72}{2}$ = 36,5
Осталось как-нибудь заменить все буквы Р, А, З, Е, Й, С, У на цифры так, чтобы значение 36,5 достигалось. Для этого необходимо поставить вместо С и У цифры 1 и 2 в любом порядке, вместо Е и Й — цифры 8, 9 в любом порядке, а оставшиеся буквы Р, А и З заменить на какие-либо из оставшихся цифр, например, так: Р = 4, А = 5, З = 6.
