Ответ на задачу: Незнайка измерил длины сторон и диагоналей своего четырёхугольного земельного участка, записал в блокнот результаты шести измерений и тут же забыл, какие числа относились к диагоналям, а какие — к сторонам. Потом он заметил, что сред...

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2016 год, 2 этап

дата проведения: 10 октября 2016 - 16 октября 2016

источник: https://vos.olimpiada.ru/archive/table/tasks/years/2016/#math

Задача 5.

Незнайка измерил длины сторон и диагоналей своего четырёхугольного земельного участка, записал в блокнот результаты шести измерений и тут же забыл, какие числа относились к диагоналям, а какие — к сторонам. Потом он заметил, что среди написанных чисел есть четыре одинаковых, а два оставшихся числа тоже равны между собой. Незнайка обрадовался и сделал вывод, что его участок — квадрат. Обязательно ли это так? Если ответ «да», то утверждение нужно доказать, если ответ «нет» — привести опровергающий пример и его обосновать.

Ответ на Задачу 5.

Ответ: Нет, необязательно.

Решение:

Построим равносторонний треугольник $A B C$ и на биссектрисе его угла $B$ отложим отрезок $B D$ , равный $A B$ . В четырёхугольнике $A B C D$ имеем $A B$ = $B C$ = $C A$ = $B D$ (по построению) и $A D$ = $D C$ (например, из равенства треугольников $B A D$ и $B C D$ по двум сторонам и углу между ними). Очевидно, что построенный четырёхугольник не является квадратом (например, так как угол $A B C$ равен 60°). Участок Незнайки мог иметь форму этого четырёхугольника.

Замечание. Возможен и участок невыпуклой формы, обладающий теми же свойствами.