Задача 6.
Четыре блохи играют в чехарду на большом листе клетчатой бумаги. Каждую секунду одна из блох перепрыгивает через какую-то другую и, летя над той же прямой, пролетает расстояние, вдвое большее, чем было между блохами до прыжка. Сейчас блохи сидят в четырёх вершинах одной клетки. Могут ли все четыре блохи через некоторое время оказаться на одной прямой?
Ответ на Задачу 6.
Ответ: Нет, не могут.
Решение:
Предположим, что это случилось, и рассмотрим тот момент, когда все четыре блохи впервые оказались на одной прямой. Попросим ту блоху, которая совершала последний прыжок, прыгнуть обратно. При этом она должна будет снова перелететь через какую-то из других блох вдоль соединяющего их отрезка, т. е. должна будет остаться на той же прямой. Значит, секунду назад все блохи тоже сидели на одной прямой! Но мы рассматривали тот момент, когда четыре блохи впервые оказались на одной прямой. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и все четыре блохи не могли оказаться на одной прямой.
Замечание: Другой, более сложный способ решения задачи можно получить, если ввести систему координат, в которой вершины исходного квадрата имеют координаты (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1), и разделить все целочисленные точки на четыре типа: те, у которых обе координаты чётны: (Ч; Ч), те, у которых обе нечётны: (Н; Н), и те, у которых чётна только одна из координат: (Ч; Н) и (Н; Ч). Можно точки каждого типа покрасить в свой цвет. Заметим, что при каждом прыжке обе координаты прыгнувшей блохи меняются на чётное число единиц, т. е. чётность координат не меняется. Четыре вершины квадрата имеют разный тип: (Ч; Ч), (Ч; Н), (Н; Ч) и (Н; Н). Однако можно доказать, что на любой прямой встречаются вершины только двух каких-то типов (например, только (Ч; Н) и (Ч; Ч)). Значит, на каждой прямой могут оказаться максимум две блохи (сидевшие вначале в вершинах тех двух типов, которые присутствуют на прямой). Итак, оказывается, что не только четыре, но и три блохи на одной прямой оказаться не могут.
