Задача 5.
Определите, в каком количестве точек пересекаются 10 прямых, если среди них есть только две параллельные и ровно три из этих прямых пересекаются в одной точке.
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 42 точки.
Решение:
Пронумеруем прямые так, чтобы именно прямые 1, 2 и 3 пересекались в одной точке (эту точку обозначим за $X$). Выпишем всевозможные пары прямых (1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, . . ., 8 и 9, 8 и 10, 9 и 10) и их точки пересечения. Всего пар прямых 45 (пар вида 1 и $l$ ровно 9, пар вида 2 и $l$ ровно 8 и так далее; 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45). По условию ровно две прямые параллельны. Значит, всего будет выписано 44 точки пересечения. При этом все точки пересечения прямых кроме $X$ будут выписаны ровно по одному разу, а точка $X$ появится трижды: для пар прямых 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3. Сотрём из списка точек пересечения две лишние буквы $X$. Останутся ровно 42 точки, и на этот раз все точки пересечения будут посчитаны ровно по одному разу.
