Ответ на задачу: Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) равен основанию AC. На основании AC построен квадрат AKLC так, что отрезок KL пересекает боковые стороны треугольника. Докажите, что треугольник BKL равносторонний.

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2018 год

дата проведения: 11 октября 2018 - 21 октября 2018

источник: https://vos.olimpiada.ru/archive/table/tasks/years/2018/#math

Задача 2.

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника $A B C$ ( $A B$ = $B C$ ) равен основанию $A C$ . На основании $A C$ построен квадрат $A K L C$ так, что отрезок $K L$ пересекает боковые стороны треугольника. Докажите, что треугольник $B K L$ равносторонний.

Ответ на Задачу 2.

Решение: Отметим точку $O$ — центр описанной окружности треугольника $A B C$ . Из условия получим, что $O A$ = $O C$ = $A C$ , то есть треугольник $A O C$ равносторонний. Поскольку $A K L C$ — квадрат, имеем $A K$ = $K L$ = $L C$ = $A C$ . Заметим, что $B O$ ∥ $L C$ , поскольку обе прямые перпендикулярны $A C$ , и также $B O$ = $L C$ (см. рисунок).

Это означает, что $O B L C$ — параллелограмм. Тогда получаем, что $O C$ = $L B$ . Аналогично получаем, что $K B$ = $A O$ . Итого получаем, что $K B$ = $B L$ = $K L$ , что и требовалось доказать.