Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2018 год
дата проведения: 11 октября 2018 - 21 октября 2018
Задача 4.
Разность корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами $2018x^2 + ax + b = 0$ — целое число (при этом сами корни необязательно целые). Докажите, что дискриминант этого уравнения делится на 20182.
Ответ на Задачу 4.
Решение:
Пусть $D$ — дискриминант этого уравнения. Обозначим корни уравнения через $\displaystyle x_1 = \frac{ − a + \sqrt{D}}{4036}$ и $\displaystyle x_2 = \frac{ − a − \sqrt{D}}{4036}$. Тогда $\displaystyle x_1 − x_2 = \frac{\sqrt{D}}{2018} = n $ — целое число.
Таким образом, $\sqrt{D} = 2018⋅n$ и $D = 2018^2n^2$, что делится на $2018^2$.
