Ответ на задачу: Разность корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами 2018x^2 + ax + b = 0 — целое число (при этом сами корни необязательно целые). Докажите, что дискриминант этого уравнения делится на 20182.

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2018 год

дата проведения: 11 октября 2018 - 21 октября 2018

источник: https://vos.olimpiada.ru/archive/table/tasks/years/2018/#math

Задача 4.

Разность корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами $2018 x^{2} + a x + b = 0$ — целое число (при этом сами корни необязательно целые). Докажите, что дискриминант этого уравнения делится на 2018².

Ответ на Задачу 4.

Решение:

Пусть $D$ — дискриминант этого уравнения. Обозначим корни уравнения через $x_{1} = \frac{- a + \sqrt{D}}{4036}$ и $x_{2} = \frac{- a - \sqrt{D}}{4036}$ . Тогда $x_{1} - x_{2} = \frac{\sqrt{D}}{2018} = n$ — целое число.

Таким образом, $\sqrt{D} = 2018 \cdot n$ и $D = 2018^{2} n^{2}$ , что делится на $2018^{2}$ .