Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2018 год
дата проведения: 11 октября 2018 - 21 октября 2018
Задача 5.
Найдите все такие пары натуральных чисел $a$ и $b$, что:
НОК($a$, $b$) = НОД($a$, $b$) + 19
и докажите, что других нет.
Комментарий:
НОД($a$, $b$) — это наибольший общий делитель, то есть наибольшее натуральное число, делящее и $a$, и $b$.
НОК($a$, $b$) — это наименьшее общее кратное, то есть наименьшее натуральное число, кратное и $a$, и $b$.
Ответ на Задачу 5.
Ответ: ($a$, $b$) = (1, 20), (20, 1), (4, 5), (5, 4), (19, 38), (38, 19).
Решение:
Пусть $d$ = НОД($a$, $b$). Заметим, что и НОК, и НОД делятся на $d$, а значит, и 19 делится на $d$. Поскольку 19 простое, получаем, что $d$ = 1 или $d$ = 19.
- Если $d$ = 1, то числа $a$ и $b$ взаимно просты, и НОК($a$, $b$) = $a$⋅$b$ = 1 + 19 = 20. Это даёт варианты (1, 20), (20, 1), (4, 5), (5, 4).
- Если $d$ = 19, то НОК($a$, $b$) = 19 + 19 = 38. Это означает, что $a$ = 19, $b$ = 38 или $a$ = 38, $b$ = 19.
