Задача 5.
Архипелаг состоит из нескольких малых островов и одного большого. Было решено построить мосты между островами так, чтобы большой остров соединялся с каждым малым островом двумя мостами, а любые два малых острова были соединены одним мостом.
К 1 ноября были построены все мосты между малыми островами и несколько (не менее одного) мостов, ведущих на большой остров, — всего 28 мостов. Сколько всего островов в архипелаге?
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 8 островов.
Решение:
Занумеруем малые острова архипелага. Если мост соединяет острова с номерами $a$ и $b$, запишем на этом мосту меньшее из этих двух чисел.
Предположим, что число малых островов в архипелаге не более шести. Тогда мостов с номером 1 не более 5, мостов с номером 2 не более 4 и т. д. На большой остров ведёт не более 12 мостов. Тогда всего решено построить не больше, чем:
5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 12 = 27 < 28
мостов, что противоречит условию.
Предположим, что число малых островов в архипелаге не меньше 8. Тогда мостов с номером 1 не менее 7, мостов с номером 2 не менее 6 и т. д. К большому острову построено не менее двух мостов, поэтому общее число построенных мостов не менее:
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 2 = 30 > 28,
что также противоречит условию.
Значит, малых островов в архипелаге 7, а всего островов — 8.
