Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2019 год
дата проведения: 14 октября 2019 - 20 октября 2019
Задача 3.
У уравнений $x^2 + 2019ax + b = 0$ и $x^2 + 2019bx + a = 0$ есть один общий корень. Чему может быть равен этот корень, если известно, что $a≠b$ ?
Ответ на Задачу 3.
Ответ: $\frac{1}{2019}$.
Решение:
Пусть общий корень данных уравнений равен $r$. Тогда:
$ r^2 + 2019ar + b = 0 = r^2 + 2019br + a $
Отсюда получаем, что $2019r(a − b) = (a − b)$. Поскольку $a \neq b$, из этого следует, что $r = \frac{1}{2019}$.
