Задача 5.
Дома Андрея, Бори, Вовы и Глеба расположены в некотором порядке на одной прямой улице. Расстояние между домами Андрея и Бори, как и расстояние между домами Вовы и Глеба, равно 600 м. Чему может равняться в метрах расстояние между домами Андрея и Глеба, если известно, что оно в 3 раза больше, чем расстояние между домами Бори и Вовы? Укажите все возможные варианты.
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 900 м, 1800 м.
Решение:
Для краткости будем дома жителей кратко обозначать первой буквой их имени. А двумя заглавными буквами подряд будем обозначать расстояние между домами соответствующих людей.
Не умаляя общности, А левее Б (иначе будем смотреть на всё с другой стороны улицы).
Сначала предположим, что В правее Г. Так как А левее Б на 600 м, а Г левее В на 600 м, то АГ равно БВ (если отрезок, соединяющий Б и В, мысленно перенести левее на 600 м, то получится отрезок, соединяющий А и Г). Но по условию они отличаются в 3 раза — противоречие.
Значит, А левее Б, В левее Г. Поскольку АБ = ВГ, то В и Г не могут одновременно располагаться между А и Б, а также А и Б не могут одновременно располагаться между В и Г. Тогда возможны 4 случая расположения домов.
Случай 1. Порядок домов такой: А, Б, В, Г. Поскольку АБ = 600, БВ = 𝑥, ВГ = 600, то по условию 600 + 𝑥 + 600 = 3𝑥, откуда 𝑥 = 600, тогда АГ = 1800.
Случай 2. Порядок домов такой: А, В, Б, Г. Пусть БВ = 𝑥. Поскольку АБ = ВГ = 600, то АВ = БГ = 600 − 𝑥. Тогда по условию (600 − 𝑥) + 𝑥 + (600 − 𝑥) = 3𝑥, откуда 𝑥 = 300, тогда АГ = 900.
Случай 3. Порядок домов такой: В, А, Г, Б. Легко видеть, что АГ не может быть больше БВ, противоречие.
Случай 4. Порядок домов такой: В, Г, А, Б. Легко видеть, что АГ не может быть больше БВ, противоречие.
Значит, возможны только два варианта: 900 и 1800.
