Задача 7.
В классе 31 ученик. У трёх из них ровно по три друга, у следующих трёх — по шесть, у следующих трёх — по девять, …, у следующих трёх — по тридцать. Сколько друзей у 31-го ученика? (Дружба между людьми взаимна.)
Ответ на Задачу 7.
Ответ: 15.
Решение:
Пусть у 31-го ученика 𝑥 друзей.
Рассмотрим трёх людей, каждый из которых имеет по 30 друзей в классе. Всего в классе 31 ученик, поэтому они дружат со всеми одноклассниками.
Давайте выгоним их из класса. Тогда у каждого человека количество друзей уменьшится на 3:
- у первой тройки станет по 0 друзей;
- у второй тройки станет по 3 друга;
- …
- у девятой тройки станет по 24 друга;
- у последнего ученика станет 𝑥 − 3 друга.
Троих учеников, у которых нет друзей, тоже выгоним из класса. Тогда конфигурация примет следующий вид:
В классе 25 учеников. У трёх из них ровно по три друга, у следующих трёх — по шесть, у следующих трёх — по девять, …, у следующих трёх — по 24. У последнего ученика 𝑥 − 3 друга.
Повторим аналогичное действие ещё 4 раза. Тогда в классе останется только последний ученик, и у него будет 𝑥 − 15 друзей. Так как в этот момент в классе больше не осталось людей, то 𝑥 = 15.
