Задача 5.
Петя и Вася играют. На столе лежат две кучки камней — в одной 100 штук, а в другой — 79. Ходят по очереди, начинает Петя. За ход игрок одну из куч убирает со стола целиком, а оставшуюся кучу делит на столе на две кучи произвольным образом. Проигрывает тот, у кого нет хода (остались две кучи по 1 камню). Кто может обеспечить себе победу и как ему играть?
Ответ на Задачу 5.
Решение:
Обеспечить себе победу может начинающий (Петя). Первым ходом он убирает кучу из 79 камней, а кучу из 100 камней делит на части 1 и 99. Вася вынужден убрать кучу из 1 камня (она не делится на части). Как бы Вася не разделил кучу из 99 камней на две части, в одной будет нечётное число камней, а в другой — чётное. Тогда Петя снова уберёт кучу с нечётным числом камней, а кучу с чётным числом поделит на две — из одного камня и из нечётного числа камней. Видим, что у Пети всегда есть ход, и так как число камней уменьшается, в какой-то момент он оставит Васе две кучи по 1 камню и выиграет.
