Задача 7.
Сторона квадрата разбита на 6 отрезков. Сумма длин 1-го, 3-го и 5-го отрезков равна сумме длин 2-го, 4-го и 6-го отрезков. Через концы отрезков провели прямые, параллельные другой стороне квадрата, а также провели диагональ (см. рисунок). Докажите, что сумма площадей светло-серых «полосок» равна сумме площадей тёмно-серых «полосок».
Ответ на Задачу 7.
Решение:
Обозначим площадь половины квадрата за 1/2, а суммарную площадь зелёных кусков за x. Заметим, что сумма площадей горизонтальных прямоугольников с нечётными номерами равна половине площади квадрата, 1 то есть тоже 1/2. Тогда сумма площадей белых частей под диагональю равна 1/2 − x. Но общая площадь под диагональю тоже равна 1/2 , а значит, суммарная сумма красных кусков равна 1/2 − (1/2 − x) = x, что и требовалось доказать.
Идея второго решения: Можно отразить относительно диагонали зелёные куски, отразить относительно диагонали красные куски и доказывать равенство суммарных площадей «удвоенных» зелёных и «удвоенных» красных участков. Тогда, если убрать общие пересечения удвоенных участков, то сумма оставшихся зелёных кусков будет равна квадрату суммы длин отрезков с нечётными номерами, а сумма оставшихся красных кусков будет равна квадрату суммы длин отрезков с чётными номерами.
