Задача 3.
Петя хочет переписать числа 2, 3, 4, ..., 51, в другом порядке так, чтобы первое выписанное число делилось на 1, второе — на 2, третье — на 3, и так далее (последнее число должно делиться на 50). Сколькими способами он может это сделать?
Ответ на Задачу 3.
Ответ: Тремя способами.
Решение:
Будем записывать числа справа налево, то есть сначала выпишем число, делящееся на 50, затем на 49, и так далее. На 50 среди имеющихся делится только само 50, поэтому оно точно должно быть написано крайним справа. Точно также на числа 49, . . . , 26 делятся только они сами, поэтому крайние справа 25 чисел определяются однозначно. Теперь на число 25 делятся уже два данных нам: 25 и 50. Но 50 мы уже написали, поэтому выбора у нас снова нет — в качестве числа, которое делится на 25, мы можем написать только 25. И такая ситуация, когда на данное число будет делиться оно само и какие-то бóльшие, но уже написанные ранее числа, будет длиться, пока мы не дойдём до числа 17: тут появится возможность записать «свободное» число 51 = 17 · 3. Если в качестве числа, делящегося на 17, мы выберем 51, то больше выбора уже не будет, и 17 в итоге будет записано на первую позицию. Если же в качестве числа, делящегося на 17, мы выберем 17, то будет возможность записать 51 на место числа, делящегося на 3. В итоге всё определяется позицией числа 51: оно может быть на 1-м, 3-м и 17-м месте, а все оставшиеся числа можно расставить единственным способом.
