Задача 5.
Имеется некоторое количество гирь, масса, каждой гири не превосходит 10 кг. Известно, что при любом разбиении всех гирь на две кучки масса хотя бы одной из кучек не превосходит 10 кг. Найдите наибольшую возможную общую массу всех гирь.
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 30 кг.
Решение:
Ясно, что 30 кг получить можно: достаточно взять три гири по 10 кг. Докажем, что больше 30 кг получить нельзя. Рассмотрим любой набор гирь, суммарная масса которых больше 30 кг. Сложим их все в одну «большую» кучу и начнём перекладывать по одной гире в другую, «маленькую» кучу. Когда-нибудь, после перекладывания очередной гири, масса «маленькой» кучи станет больше 10 кг. Рассмотрим этот момент внимательнее. До того, как мы переложили последнюю гирю, масса «маленькой» кучки была не больше 10 кг, значит, масса «большой» была больше 20 кг (ведь суммарно гири весят более 30 кг). При перекладывании этой гири мы уменьшили массу «большой» кучи не более, чем на 10 кг (потому что любая гиря по условию не может весить больше), поэтому масса большой кучи все ещё больше 10 кг. Вместе с тем, по нашему предположению, масса «маленькой» кучи стала больше 10 кг. Значит, мы разложили гири на две кучи, масса каждой из которых более 10 кг, чего по условию быть не должно.
