Решение:

Поскольку у нас есть 30 цифр, а используем мы только 9 разных цифр (от 1 до 9), то среди этих 30 цифр найдутся по крайне мере 4 одинаковые, пусть они равны $a$. Тогда рассмотрим первое и третье вхождение цифры $a$ в запись числа на полоске:

$$\dots \stackrel{1}{a}b\dots \stackrel{3}{a}c\dots$$

Заметим, что цифра $b$ не является третьим вхождением цифры $a$ в число, ведь между первым и третьим вхождением есть второе. А цифра $c$ существует, поскольку после третьего вхождения цифры $a$ есть как минимум четвёртое. Соответственно, участки $ab$ и $ac$ существуют и не пересекаются. Проведем теперь такие разрезы (обозначаем их вертикальными палочками): в первом случае $\dots |ab|\dots |a|c\mid \dots$, во втором случае $..|a|b|\dots |ac\mid \dots$. Других разрезов не делаем. Заметим, что сумма чисел может отличаться только благодаря разрезам в $ab$ и $ac$, поскольку остальные числа совпадают. Что же происходит внутри участков $ab$ и $ac$ ? В первом случае числа дают вклад $(10a+b)+a+c$, а во втором случае $a+b+(10a+c)$. Эти два выражения равны, а значит, и сумма чисел, полученных в результате первого разреза, равна сумме чисел, полученных в результате второго разреза.