Задача 7.
На бумажной полоске записано 30-значное число без нулей. Полоску разрезают в нескольких местах (между соседними цифрами), и она распадается на, части с числами. Докажите, что всегда найдутся хотя бы два разных способа разрезать полоску так, чтобы сумма получившихся чисел будет одной и той же. (Способы считаются разными, если какой-то разрез в одном способе есть, а в другом — нет.)
Ответ на Задачу 7.
Решение:
Поскольку у нас есть 30 цифр, а используем мы только 9 разных цифр (от 1 до 9), то среди этих 30 цифр найдутся по крайне мере 4 одинаковые, пусть они равны $a$. Тогда рассмотрим первое и третье вхождение цифры $a$ в запись числа на полоске:
$$ \ldots \stackrel{1}{a} b \ldots \stackrel{3}{a} c \ldots $$
Заметим, что цифра $b$ не является третьим вхождением цифры $a$ в число, ведь между первым и третьим вхождением есть второе. А цифра $c$ существует, поскольку после третьего вхождения цифры $a$ есть как минимум четвёртое. Соответственно, участки $a b$ и $a c$ существуют и не пересекаются. Проведем теперь такие разрезы (обозначаем их вертикальными палочками): в первом случае $\ldots|a b| \ldots|a| c \mid \ldots$, во втором случае $. .|a| b|\ldots| a c \mid \ldots$. Других разрезов не делаем. Заметим, что сумма чисел может отличаться только благодаря разрезам в $a b$ и $a c$, поскольку остальные числа совпадают. Что же происходит внутри участков $a b$ и $a c$ ? В первом случае числа дают вклад $(10 a+b)+a+c$, а во втором случае $a+b+(10 a+c)$. Эти два выражения равны, а значит, и сумма чисел, полученных в результате первого разреза, равна сумме чисел, полученных в результате второго разреза.
