Решение:

Первый способ. Сложим число в столбик с числом, равным ему самому. При каждом переходе через разряд сумма цифр числа 2a уменьшается относительно удвоенной суммы цифр a на 9. Обозначим сумму цифр a за S(a). Пусть было k переносов. Тогда S(2a) = 2S(a) − 9k. С учётом того, что S(2a) = S(a) по условию, S(a) = 9k, что и требовалось.

Второй способ. Заметим, что разность числа и суммы его цифр делится на 9. Например, для четырёхзначного числа abcd имеем: abcd − (a + b + c + d) = a · 1000 + b · 100 + c · 10 + a − (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c — делится на 9; в общем случае доказательство аналогично. Значит, число даёт при делении на 9 такой же остаток, какой даёт сумма цифр этого числа при делении на 9. Но при удвоении остаток от деления на 9 не может сохраниться, кроме случая нулевого остатка: если бы у числа 9n + k и удвоенного числа 18n + 2k были равные остатки, то их разность 18n + 2k − (9n + k) = k делилась бы на 9, то есть k = 0.

Третий способ. Заметим, что при умножении цифры на 2 мы получим максимум 18 и не можем получить 9. Поэтому при умножении нашего числа на 2 в столбик через разряд переносится всегда максимум единица, и она не даёт нового переноса через разряд. Тогда числа 1, 2, 3 и 4 при умножении на 2 увеличивают сумму цифр на 1, 2, 3 и 4, числа 5, 6, 7 и 8 при умножении на 2 уменьшают сумму цифр на 4, 3, 2 и 1 соответственно, а числа 0 и 9 при умножении на 2 сумму цифр не изменяют. Пусть цифр 1, 2, 3 и 4 было всего a, b, c и d соответственно, а цифр 5, 6, 7 и 8 было x, y, z и t. Чтобы сумма цифр не изменилась, надо, чтобы a + 2b + 3c + 4d = 4x + 3y + 2z + t. Сумма цифр исходного числа, без учёта девяток, равна тогда (a + 2b + 3c + 4d) + (5x + 6y + 7z + 8t) = (4x + 3y + 2z + t) + (5x + 6y + 7z + 8t) = 9(x + y + z + t) — делится на 9, и с учётом девяток тоже будет делится на 9.